13 марта 2018 г.

В.П. Голубятников (Институт математики им. С.Л. Соболева, Новосибирск)

"Некоторые решённые и нерешённые задачи геометрической томографии"

       Рассматриваются задачи реконструкции форм выпуклых, а также некоторых более сложных тел в евклидовых пространствах по формам их проекций на плоскости размерностей 2 и выше.

       Пусть V, W – выпуклые тела в Rⁿ, и их проекции на  любую  2-мерную  плоскость  или k-мерную плоскость, k  > 1) совмещаются некоторым линейным преобразованием этой плоскости. В качестве таких преобразований главным образом изучаются  сохраняющие ориентацию изометрии или преобразования подобия. Основной вопрос формулируется так: насколько различными могут быть тела V и W?

    Получены условия, при которых эти тела совмещаются в  Rⁿ  либо параллельным переносом,  либо гомотетией. Приводятся примеры, показывающие существенность этих условий. 

       С этими задачами тесно связан вопрос о «непрерывном кубике Рубика»: пусть непрерывные функции   f   и   g   определены на сфере, и их ограничения на любую окружность большого круга совпадают после некоторого подворота этой окружности.  Верно ли, что f(x) = g(x)  или   f(x) = g(‒x) при всех  x (то есть все углы таких подворотов либо нулевые, либо равны 180 градусам)?

Литература

R.J. Gardner. Geometric tomography, 2-d edition. Cambridge University Press, 2006.

Наверх