12 марта 2015 г.

 С.Б. Тихомиров (Лаборатория им. П.Л. Чебышева Санкт-Петербургского государственного университета)

"Количественные характеристики свойства отслеживания"

       Теория отслеживания изучает свойства псевдотраеторий (приближенных траекторий, ε-траекторий) динамических систем. Основным вопросом теории отcлеживания является: при каких условиях для любой псевдотраектории с достаточно малыми погрешностями может быть найдена близкая точная траектория (отслеживающая траектория) динамической системы.  Понятие отслеживания было введено Аносовым в 60-х годах при изучении устойчивости геодезических потоков на многообразиях  отрицательной кривизны. Позднее оно было обобщено на гладкие динамические системы с дискретным и непрерывным временем и сыграло ключевую роль при характеризации грубых систем, введенных ранее Андроновым и Понтрягиным. В частности, при помощи свойства отслеживания доказывается структурная устойчивость гиперболических множеств. Известно, что в окрестности гиперболического множества отображение обладает свойством отслеживания. При этом до сих пор известно очень мало примеров негиперболических множеств, обладающих свойством отслеживания. В то же время на практике (например, при численном моделировании) псевдотраектории могут быть приближены точными траекториями намного лучше, чем предсказывает теория, и это требует дополнительного объяснения. Следует упомянуть результаты Хаммела-Гребоджи-Йорка, в которых рассматривались псевдотраекторииконечной длины. Основываясь на результатах численных экспериментов они  выдвинули  гипотезу о длине отслеживаемых псевдотраекторий для неравномерно гиперболических множеств.

         В докладе  будут рассмотрены количественные аспекты свойства отслеживания, а именно,  зависимость между погрешностью псевдотраекторий и точностью  отслеживания  и  устойчивость  свойства  отслеживания  к  малым  возмущениям  динамической  системы.  В  частности,  будет  показано,  что

1) зависимость между  погрешностью псевдотраекторий и точностью отслеживания линейна тогда и только тогда, когда динамическая система структурно устойчива; 

2) гипотезаХаммела-Гребоджи-Йорка не может быть улучшена.    

Кроме этого, будет

3) указан класс неравномерно гиперболических систем, для которых получена точная оценка длины отслеживаемых псевдотраекторий и

4) приведен пример не структурно устойчивого векторного поля, обладающего свойством отслеживания вместе со всеми малыми возмущениями. Отметим, что ранее было показано, что аналогичный пример для случая диффеоморфизмов невозможен.

Наверх