18 декабря 2008 г.

 И.С. Емельянова (Нижегородский университет, ВМК)

"Элементы современного группового анализа дифференциальных уравнений"

    Речь пойдет об идеях, плодотворность которых была доказана еще во второй половине  XIX века. Однако, несмотря на то, что теория, о которой пойдет речь, имеет многочисленные приложения, а ее разработчики  получают  награды и премии, она с огромным трудом "просачивается" в современную высшую школу.                                                                                                                            

     Связь между симметриями дифференциальных уравнений и соответствующими  точными решениями, как правило, не является очевидной - замечательное исключение, область приложения которого ограничена, представляет теорема Э. Нётер. Решение многих нелинейных задач получено только с применением группового анализа. А если задача допускает несколько симметрий, то порядок и способы их использования диктуются законами линейной алгебры независимо от того, является исходная система уравнений линейной или нелинейной.                                  
     Традиционные дисциплины "Дифференциальные уравнения" и "Математическая  физика" с помощью теории Ли существенно обновляются и по существу превращаются в единый курс, включающий, помимо общепринятого базового материала, методы группового анализа дифференциальных уравнений. Многообразие специальных приемов, предназначенных для решения не связанных между собой, на первый взгляд, типов дифференциальных уравнений (уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, линейные уравнения и т.д.), приходит в таком курсе в логически стройный порядок             .                                                 

 В докладе излагаются основные идеи группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, а также их систем. Приводятся способы нахождения и использования их симметрий. Обсуждаются классические и новые результаты, относящиеся к случаям точных и приближенных симметрий. Демонстрируются задачи, решаемые с применением ренормгруппового подхода.