16 апреля  2008 г.

 Е.И. Гордон (Восточный Иллинойский Университет, США)

"Теория гиперконечных множеств"
 

В последние десятилетия в связи с широким применением компьютеров в математических исследованиях значительно возросла роль работ по дискретизации непрерывных объектов. Это привело к возникновению новой точки зрения на природу математики. Наилучшим образом эта точка зрения сформулирована известным американским специалистом по дискретной математике Д. Зайлбергером: «Непрерывный анализ и геометрия являются только лишь вырожденными аппроксимациями дискретного мира ... Хотя дискретный анализ концептуально проще непрерывного, технически он, как правило, значительно сложнее. Поэтому в отсутствие компьютеров непрерывная геометрия и анализ были необходимыми упрощениями, позволявшими исследователям добиваться успехов в естественных науках и математике».

В докладе будет рассказано о новой системе оснований математики (аксиоматике теории множеств), которая формализует эту точку зрения на современном уровне математической строгости. В основе этой аксиоматики лежит идея о том, что все множества конечны, но некоторые из них настолько велики, что для них нарушается принцип математической индукции, подобно тому, как это происходит в известном парадоксе о куче песка. Классическая математика естественно интерпретируется в этой теории так, что непрерывные объекты возникают из конечных при отождествлении неразличимых в том или ином смысле элементов, аналогично тому, как непрерывные кривые изображаются при помощи компьютеров.

Знакомство с математической логикой и работами по основаниям математики не предполагается. Необходимые сведения по аксиоматической теории множеств будут сообщены в докладе.