Регистрация |  Устав |  Как стать членом Общества |  Правление |  Реквизиты |  Список Членов |  Научные заседания |  Ревизионная комиссия |  Информация Home


27 марта  2008 г.

 А.В. Кочергин (МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва)

"Перемешивающие свойства потоков на поверхностях"
 

Гладкий поток без неподвижных точек на торе, сохраняющий меру с гладкой плотностью, представляется как специальный поток над поворотом окружности T c гладкой функцией f. Гладкость функции f зависит от гладкости потока и гладкости плотности инвариантной меры.

Геометрически можно представлять себе пространство, на котором действует специальный поток, как множество точек между осью абсцисс и графиком y=f(x), а действие потока – как движение с единичной скоростью по вертикальной прямой с переходом из точки (x,f(x)) в точку (Tx,0).

Обратно, всякий специальный поток, построенный по повороту окружности и ограниченной измеримой функции f, можно реализовать как поток, получаемый заменой времени (или репараметризацией) из линейного потока на торе. Замену времени можно представить как домножение векторного поля на измеримую функцию ψ(x,y), являющуюся бесконечно гладкой вдоль траекторий потока. Функцию ψ  можно сделать той же гладкости, что f .

Перемешивание и  слабое перемешивание в таких специальных потоках возникает за счет того, что точки соседних траекторий, проходя вертикальные отрезки от "основания" пространства Y до "крыши" за различные промежутки времени, через некоторое время разбегаются достаточно далеко вдоль траекторий. В результате маленький прямоугольник сильно растягивается по вертикали и оказывается почти равномерно распределенным по длинной и узкой полоске, идущей вдоль траекторий, и как бы наматывается на фазовое пространство. Перемешивания можно добиться, например, "почти гладкой" заменой времени в эргодической обмотке тора, а в трехмерном случае для некоторых чисел вращения даже аналитической заменой.

Наличие только вырожденных особых точек в гладком эргодическом потоке гарантирует перемешивание, невырожденных – нет.


Регистрация |  Устав |  Как стать членом Общества |  Правление |  Реквизиты |  Список Членов |  Научные заседания |  Ревизионная комиссия |  Информация Home