15 ноября  2007 г.

 А.Г. Лосев (Волгоградский университет)

"Эллиптические уравнения на некомпактных римановых многообразиях"
 

Абстракт.         

Изучаются взаимосвязи между поведением решений уравнений эллиптического  типа  на  римановом многообразии и геометрией многообразия. В частности, вводится новый класс некомпактных римановых многообразий (далее – квазимодельные многообразия), обобщающих как сферически-симметричные многообразия, так и искривленные римановы произведения. На основе спектральных свойств таких многообразий строится  качественная теория решений уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шредингера на них. А именно, в терминах внутренних характеристик таких многообразий получен ряд точных результатов, относящихся к теоремам типа Лиувилля для гармонических функций и решениям стационарного уравнения Шредингера (в форме необходимых и достаточных условий выполнимости). Также доказаны необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Дирихле для решений рассматриваемых уравнений на квазимодельных многообразиях. Кроме того, построена шкала функций, с помощью которых получены точные оценки размерностей пространств гармонических функций предписанного роста. Установлена взаимосвязь между лиувиллевым свойством для ограниченных гармонических функций и стохастической полнотой многообразия.

Также получены точные условия существования положительных решений некоторых квазилинейных неравенств на квазимодельных римановых многообразиях.