14 марта  2007 г.

 Е.И. Яковлев (Нижегородский университет, мех-мат)

"Гипотезы Пуанкаре и Тёрстена. Доказательство Перельмана. "
 

Абстракт.         

Основы алгебраической топологии были заложены А. Пуанкаре в самом начале 20-го века. В результате бурного развития этой науки к 1970-м годам многие классические проблемы были решены. Одной из немногих областей, в которых продвижение было не столь успешным, как ни странно, оказалась топология трехмерных многообразий. В частности, почти 100 лет не удавалось доказать гипотезу Пуанкаре, согласно которой произвольное трехмерное замкнутое односвязное многообразие гомеоморфно сфере . Данное обстоятельство было одним из препятствий на пути к решению главной задачи – классификации компактных 3-многообразий.

В начале 1980-х годов У. Тёрстен предложил новый способ изучения топологии трехмерных многообразий – геометрический. В двумерном случае этот подход хорошо известен: любое замкнутое 2-многообразие допускает либо плоскую, либо сферическую, либо гиперболическую геометрию. Согласно гипотезе Тёрстена, произвольное замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие может быть разбито вложенными в него двумерными сферами и торами на части, которые после приклеивания шаров  ко всем граничным сферам допускают локально однородные римановы метрики, то есть некоторые «хорошие» геометрии. Заметим, что гипотеза Пуанкаре является частным случаем этого утверждения. Тёрстен классифицировал упомянутые геометрии и показал, что утверждение гипотезы о геометризации справедливо при некоторых дополнительных ограничениях.

Доказательство гипотез Пуанкаре и Тёрстена было получено математиком из Санкт-Петербурга Г. Перельманом и обнародовано в Интернет-архиве в 2002 и 2003 годах (http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159; http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109). В следующие три года оно тщательно проверялось, была опубликована серия статей, посвященных подробному анализу деталей. К лету 2006 года ведущими специалистами было признано, что доказательство верно, и объявлено о присуждении Перельману премии имени Филдса. Но Григорий Яковлевич отказался ехать на конгресс математиков, где премию должны были ему вручить.

В докладе будет более подробно говориться о гипотезах Пуанкаре и Тёрстена, а также о доказательстве Перельмана. Можно отметить, что оно не является чисто топологическим. Существенно используются риманова геометрия и дифференциальные уравнения, а именно потоки Риччи.