15 февраля  2007 г.

 В.В. Чистяков   (Высшая школа экономики, Нижний Новгород)

"Поточечный принцип выбора и селекции ограниченной вариации".

Абстракт.         

Знаменитая теорема Э. Хелли (1912 г.), обобщающая классическую лемму Больцано-Вейерштрасса о предельной точке, гласит, что равномерно ограниченная на отрезке последовательность монотонных вещественных функций содержит поточечно сходящуюся подпоследовательность. Эта теорема, называемая принципом выбора Хелли, находит важные применения в теории функций, функциональном анализе, комплексном анализе, теории вероятностей, теории оптимального управления и др. Из этой теоремы, в частности, вытекают разнообразные ее обобщения для последовательностей функций одной и нескольких вещественных переменных, имеющих равномерно ограниченную (обобщенную) вариацию в различных смыслах (по Н. Винеру, Л. Янгу, Д. Уотерману, С. Гнилке, М. Шрамму).

Цель настоящего сообщения – представить новое универсальное достаточное условие (которое является “почти” необходимым!) на последовательность функций из подмножества T вещественной прямой в метрическое (или равномерное по А. Вейлю) пространство X, гарантирующее существование поточечно сходящейся подпоследовательности. Получающийся принцип выбора включает в себя все известные к настоящему времени обобщения теоремы Хелли. В качестве приложения будет показано, что мультифункция из T в непустые компактные подмножества пространства X, имеющая ограниченную вариацию вправо (или влево) относительно полуотклонения Хаусдорфа, при любых начальных условиях обладает селекцией ограниченной жордановой вариации. В противоположность этому, непрерывная по Липшицу вправо (или влево) мультифункция может не иметь ни одной непрерывной селекции.

Литература.

[1] V.V. Chistyakov, Selections of bounded variation, J. Appl. Anal. 10 (2004), 1-82.

[2] V.V. Chistyakov, The optimal form of selection principles for functions of a real variable, J. Math. Anal. Appl. 310 (2005), 609-625.

[3] В.В. Чистяков, Принцип выбора для функций со значениями в равномерном пространстве, Докл. РАН 409, N 5 (2006), 591-593.