14 сентября  2006 г.

 А.А. Глуцюк (Независимый московский университет, Москва, Высшая нормальная школа, Лион)

"О ламинациях в комплексной динамике и одновременной униформизации".

Абстракт.   

         Известно, что всякая некомпактная односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна либо комплексной прямой, либо единичному диску. Это классическая теорема об униформизации, доказанная одновременно и независимо Пуанкаре и Кёбе в начале 20-го века.

         Теория квазиконформных отображений, созданная М.А. Лаврентьевым, Ч. Морри и др. в 1930-х гг., далеко обобщила теорему униформизации и нашла важные приложения в разных областях математики. В первую очередь (начиная с работ Д. Сулливана и др. 1980-х гг.) это две области комплексной динамики: итерации рациональных функций и теория Клейновых групп. Сулливан ввел словарь, связывающий эти две области, что привёло к замечательным  результатам в обеих (в частности, к доказательству знаменитой теоремы Сулливана об отсутствии блуждающих компонент множества Фату).

Клейнова группа – это дискретная группа конформных автоморфизмов сферы Римана.  Её действие поднимается на трёхмерное гиперболическое пространство (граница которого есть сфера Римана). Фактор поднятого действия – трёхмерное гиперболическое многообразие, называемое Клейновым многообразием. Недавно исследование геометрии Клейновых многообразий привело к прорыву в теории Клейновых групп, в частности, к доказательству знаменитой гипотезы Альфорса о мере (результат работы многих людей – Агола, Габаи и Калегари, Тёрстона, Канари, Минского и др.).

В середине 1990-х гг. М.Ю. Любич и Я. Минский предложили продолжить словарь Сулливана. Для произвольной рациональной функции они построили объект, являющийся аналогом Клейнова многообразия: гиперболическую фактор-ламинацию. Грубо говоря, это трансверсально-канторово слоение на трёхмерные гиперболические многообразия с особенностями. Имеется надежда, что исследование гиперболических ламинаций повлечёт важные результаты в динамике рациональных итераций.

В докладе будет дан обзор вышеупомянутых результатов. Будет рассказано о результатах докладчика по геометрии ламинаций и о некоторых (родственных) расслоенных вариантах теоремы униформизации. Предварительных знаний для понимания доклада не требуется.