14 марта  2006 г.

А.В. Арутюнов (МГУ, Университет Дружбы народов, Москва)

"Вырожденные задачи нелинейного анализа и теории экстремума".

Абстракт.

         Рассмотрим систему нелинейных уравнений, имеющую в векторной записи вид F(x) = y, где F – гладкое отображение одного банахова пространства X в другое (для простоты можно считать эти пространства конечномерными). Если точка х₀ вырождена, то есть линейный оператор F¢(x₀) не является сюръективным (например, F¢(x₀) = 0), то в точке х₀ классическая теорема об обратной функции неприменима. В докладе обсуждается это явление вырождения и предлагается вариант теоремы об обратной функции, который применим и в вырожденных точках.

         Рассмотрим также классическую экстремальную задачу с ограничениями:

f₀(x) ® min,                   f_i(x) = 0,      i = 1, 2, …, k,                x Î X.

Здесь гладкие функции f_i задают ограничения, а f₀ – минимизируемый функционал. Пусть х₀ – точка локального минимума. Известно, что если точка х₀ вырождена (анормальна), то есть градиенты ограничений f_i¢(x₀) линейно зависимы, то классический принцип Лагранжа вырождается (не несет содержательной информации), а классические необходимые условия второго порядка не выполняются.

         В докладе обсуждается это явление вырождения и излагается теория необходимых условий первого и второго порядков одинаково содержательная  как для вырожденных, так и для невырожденных задач. Эти результаты являются развитием принципа Лагранжа и обобщаются на теорию оптимального управления.

         Важно отметить, что все излагаемые в докладе результаты  являются содержательными и в конечномерном случае (даже если Х трехмерное пространство).