21 февраля  2006 г.

В.З. Гринес (НГСХА, Нижний Новгород)

"Новые топологические инварианты грубых дискретных динамических систем с конечным множеством периодических орбит".

Абстракт.

Хорошо известно, что  грубые потоки на замкнутых  поверхностях могут иметь лишь  конечное множество периодических траекторий. В случае многообразий большей размерности это не так, в связи с чем выделяется класс грубых потоков с конечным множеством периодических траекторий – класс  Морса-Смейла. Одно из существенных  отличий  многомерных потоков Морса-Смейла от грубых потоков на поверхностях заключается в возможности пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий различных седловых периодических траекторий. Это значительно усложняет их классификацию по сравнению с классификацией двумерных  грубых потоков, полученной в работах А.А. Андронова, Е.А. Леонтович-Андроновой, А.Г. Майера  и М. Пейксото.

Одним из методов изучения потоков является исследование дискретной динамической системы (каскада), порожденной отображением последования на многообразии,  трансверсальном  к  траекториям  потока.  Теория каскадов  на n-мерных многообразиях  развивается самостоятельно, обогащая информацию о потоках на (n+1)-мерных многообразиях.

 В докладе излагаются недавние результаты Х. Бонатти,  В.С. Медведева, Е. Пеку, О.В. Починки и автора по классификации трехмерных каскадов Морса-Смейла. Основным здесь является обнаружение новых топологических инвариантов, описывающих вложение инвариантных многообразий седловых периодических точек в многообразие, на котором задан каскад.  В частности, показано, что замыкание двумерного (одномерного) инвариантного многообразия седловой периодической точки может быть дико вложенной сферой (дугой). Заметим, что первые примеры диких  вложений (двумерной сферы (Дж.  Александер, 1924 г.) и замкнутого интервала (E. Артин  и  Р.  Фокс,  1948 г.)  не были связаны с какой-либо динамической системой.