18 января  2006 г.

А.И. Дегтярев (Билкент Университет, Анкара, Турция)

"Об особых комплексных секстиках".

Абстракт.

Рассматриваются комплексные плоские проективные кривые степени шесть (секстики) с точностью до жесткой изотопии, т.е. до  эквисингулярной деформации в классе алгебраических кривых. Мы рассматриваем кривые с простыми особенностями, так что концепция эквисингулярности не зависит от выбора категории. Очевидным инвариантом такой кривой является набор ее особенностей. В 1931 году О. Зариский построил пример пары неизотопных секстик, имеющих по шесть каспов каждая. Они различаются многочленом Александера, который является инвариантом фундаментальной группы дополнения кривой. В 1986 году я обобщил пример Зариского и перечислил все такие пары. Тогда же я высказал гипотезу, что две любые неизотопные секстики с одним и тем же набором особенностей различаются их многочленами Александера. Гипотеза была опровергнута в 1999 году Х. Токунагой (его примеры все еще различались фундаментальной группой) и несколькими годами позже – группой Е. Артала (в примерах Артала фундаментальные группы дополнения изоморфны, и до сих пор не известно, гомеоморфны ли дополнения кривых или пары (плоскость, кривая) ).

Используя технику K3-поверхностей, мы покажем, что в случае простых особенностей диффеоморфность пар (плоскость, кривая) равносильна жесткой  изотопности кривых. (Секстики с непростой особой точкой были расклассифицированы ранее.)  Не представляется сложным перечислить все изотопические классы кривых шестой степени, но их число должно измеряться многими сотнями (так, список максимальных наборов простых особенностей, скомпилированный в 1996 году Дж.Г. Янгом, занимает пять страниц). Поэтому мы ограничимся разбором нескольких примеров (в основном, “классические” пары Зариского и кривые, построенные Арталом геометрически). Один из примеров представляется весьма замечательным и довольно-таки новым для предмета: две кривые различаются ориентацией положительно определенных трехмерных подпространств, порожденных в гомологиях K3-поверхности ее голоморфной и Кэлеровой формами; в соответствии с результатами С. Доналдсона, последняя ориентация тесно связана с диффеоморфизмами в их противопоставлении гомеоморфизмам.