20 апреля 2005 г.

С.В. Дужин (ПОМИ РАН)

"Интеграл Концевича и ассоциатор Дринфельда".

Абстракт.

        Инварианты узлов конечного типа были введены в работах В. Васильева и М. Гусарова в начале 1990 годов. Все такие инварианты образуют бесконечномерное векторное пространство V=U_n≥0 V_n ,  причем подпространства  V_n все конечномерны. В 1992 году М. Концевич написал интегральную формулу, которая сопоставляет узлу (а также зацеплению, косе и т.п.) бесконечный формальный ряд, в котором содержатся все инварианты Васильева. Вскоре после этого несколько авторов (Картье, Пиюнихин, Ле–Мураками и др.) практически одновременно изобрели "конструктор", позволяющий выражать интеграл Концевича через атомарные объекты, главным из которых является ассоциатор Дринфельда. Ассоциатор определяется как бесконечный ряд, составленный из диаграмм определенного вида и удовлетворяющий надлежащей системе аксиом. В простейшем случае можно считать, что ассоциатор есть ряд от двух некоммутирующих переменных; конкретный пример такого ассоциатора можно получить, изучая асимптотические свойства решений одномерного уравнения Книжника-Замолодчикова (обыкновенное дифференциальное уравнение со значениями в некоммутативной алгебре). С другой стороны, известно существование ассоциатора с рациональными коэффициентами, и отсюда вытекает рациональность интеграла Концевича, a priori нисколько не очевидная.

В докладе будет дан общий обзор по этой тематике.