Регистрация |  Устав |  Как стать членом Общества |  Правление |  Реквизиты |  Список Членов |  Научные заседания |  Ревизионная комиссия |  Информация Home


26  февраля  2004 г.

Н.А. Вавилов (Санкт-Петербургский университет)

Экономное порождение групп

Абстракт.

Какие-то системы образующих для многих важных групп известны уже довольно давно, однако систематический поиск экономных в том или ином смысле систем образующих и наиболее простых соотношений начался только в последние десятилетия. Так, уже около 2500 лет известно, что полная линейная группа GL(n,K) над полем порождается элементарными преобразованиями. Менее известно, что явные соотношения между этими преобразованиями были впервые получены только в 1962 году Стейнбергом.

            Каждый студент 1-го курса знает, что один элемент порождает циклическую группу, а две инволюции – диэдральную. Оказывается однако, что два элемента (один из которых инволюция) или три инволюции могут порождать уже почти что угодно, в том числе все (или почти все!) конечные простые группы. Для знакопеременных групп это было доказано в самом начале XX века Миллером, но для остальных конечных простых групп результаты в таком духе были получены лишь недавно Томпсоном, Стейнбергом, Ашбахером, Хигменом, Кондером, Тамбурини, Дж.Уилсоном, Ди Мартино, докладчиком, Малле, Сакслом, Либеком, Шалевом, Вайгелем, Б.Кантором, Гуральником, Луккини, Гавиоли, Эвериттом, Всемирновым, Н.Семеновым и другими. При этом, в частности, удалось получить решение многих классических проблем, некоторые из которых были явно сформулированы еще Гурвицем, Клейном и Фрикке в конце XIX века.

            Так, недавно не было известно вообще ни одного примера гурвицевых групп большого ранга и высказывались предположения, что таких групп вообще не существует. Теперь мы знаем, что все группы достаточно большого ранга гурвицевы и вообще, что все, что не запрещено, разрешено.    Эти результаты  появились благодаря  классификации конечных простых групп и их максимальных подгрупп и целому спектру групповых, пермутационных, линейных, комбинаторных, геометрических, теоретико-числовых и вероятностных методов.

В докладе будет подробно рассказано о фантастических достижениях, полученных в этом направлении в последние 10-15 лет, а также об обобщениях на не обязательно конечные группы типа Ли и другие близкие к ним группы (такие, как группы автоморфизмов свободных групп). Будет упомянуто также о приложениях этих результатов в самой теории групп и об их связях с обратной задачей теории Галуа, римановыми поверхностями, автоморфными функциями, и т.д.

Основные темы:

● 2-порождение; ● (2,3)-порождение; ● порождение тремя инволюциями;

● (2,3,7)-порождение и гурвицево порождение;    ● (2,3,m)-порождение; ● (k,l,m)-порождение;

● 1½-порождение; ● (1+ε)-порождение;

● вероятностное порождение (random generation); ● порождение SL(m,Z) и других близких групп.

 

Регистрация |  Устав |  Как стать членом Общества |  Правление |  Реквизиты |  Список Членов |  Научные заседания |  Ревизионная комиссия |  Информация Home