6 октября 2002 г.
А.И.Нейштадт (ИКИ РАН)
Затягивание потери устойчивости в системах с быстрыми и медленными движениями
Абстракт.
Затягивание потери устойчивости -
интересное, важное и не до конца ещё понятное явление в динамике
систем с медленно изменяющимися параметрами. Оно состоит в следующем.
Пусть система, зависящая от параметра, имеет при каждом фиксированном
значении параметра невырожденное равновесие. Пусть при каком-то
критическом значении параметра это равновесие теряет устойчивость:
при значениях параметра, меньших критического, равновесие асимптотически
устойчиво в линейном
приближении, а при значениях параметра, больших критического
- неустойчиво. Добавим к задаче динамику самого параметра: пусть он
медленно растёт со временем и проходит через указанное критическое
значение. Оказывается, если система аналитична, то потеря устойчивости
неизбежно затягивается: притянувшаяся к равновесию при значениях параметра,
меньших критического, система остаётся
в окрестности потерявшего устойчивость положения равновесия ещё долгое
время, за которое параметр успевает измениться на конечную величину,
не зависящую от скорости изменения параметра. Это затягивание потери
устойчивости -
свойство именно аналитических систем, в типичных бесконечно
дифференцируемых системах срыв с потерявшего устойчивость равновесия
происходит вблизи критического значения параметра. Так что в явлении
затягивания материализуется отличие аналитических
систем от бесконечно дифференцируемых. Затягивание разрушается очень
малым шумом; тем не менее оно наблюдается в компьютерных и реальных
экспериментах.