25 декабря 2001 г.
В.З.Гринес (НСХА)
О топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на
трехмерных многообразиях
Абстракт.
Излагаются результаты по проблеме топологической сопряженности
диффеоморфизмов Морса-Смейла на замкнутых ориентируемых трехмерных
многообразиях, полученные недавно автором доклада в сотрудничестве
с В.С.Медведевым, Х.Бонатти и Е.Пеку. Основное внимание уделяется
классификации диффеоморфизмов, у которых устойчивые и неустойчивые
многообразия седловых периодических точек не пересекаются.
Каждому диффеоморфизму из рассматриваемого класса сопоставляется оснащенный
граф, вершины которого соответствуют периодическим точкам, а ребра -
сепаратрисам седловых периодических точек. Для стоковой периодической точки
определяется схема, которая есть зацепление торов, бутылки Клейна и простых
замкнутых кривых, вложенных в прямое произведение сферы на окружность.
Схема описывает топологию вложения неустойчивых одномерных и двумерных
сепаратрис седловых периодических точек в устойчивое многообразие стоковой
периодической точки. Это вложение может быть диким, что приводит к
существованию счетного множества топологически несопряженных диффеоморфизмов
с очень простой динамикой. Оказывается, что диффеоморфизмы топологически
сопряжены тогда и только тогда, когда:
1) cоответствующие графы изоморфны;
2) подстановки на вершинах графов, индуцированные этими диффеоморфизмами,
сопряжены;
3) стоки, отвечающие изоморфным вершинам, имеют эквивалентные схемы.
Приводятся также результаты по топологической классификации диффеоморфизмов
Морса-Смейла, блуждающие множества которых содержат гетероклинические точки
и гетероклинические кривые и обсуждается связь между динамическими свойствами
диффеоморфизма Морса-Смейла и топологией многообразия, на котором он задан.