25 марта 2001 г.
Д.В.Трещев (МГУ, Москва)
Диффузия в гамильтоновых системах близких к интегрируемым.
Абстракт.
Согласно теории Колмогорова-Арнольда-Мозера, в фазовом пространстве
гамильтоновой системы близкой к интегрируемой, инвариантное множество,
образованное квазипериодическими движениями, имеет положительную меру.
Решения, живущие в щелях между колмогоровскими торами, могут иметь
хаотическую природу. Доклад посвящен обсуждению возможного поведения
таких решений, а точнее, явлению, называемому диффузией Арнольда.
Рассматриваемый класс систем, как правило, изучают в переменных
действие-угол соответствующей интегрируемой (невозмущенной)
системы. Переменные "угол" являются быстрыми: они изменяются
со скоростью порядка 1 даже в невозмущенной системе.
?еременные "действие" медленные: в невозмущенной системе они
являются первыми интегралами. Диффузией Арнольда называют
эволюцию переменных "действие" в возмущенной системе.
?а возможность такой эволюции обратил внимание Арнольд в
1964 г. Однако даже к настоящему времени неизвестно, насколько
типично это явление. Известно лишь, что средняя скорость
такой диффузии экспоненциально мала относительно величины
возмущения (теория Нехорошева), а также построен ряд
примеров, обобщающих пример Арнольда.
Упомянутые экспоненциально малые эффекты являются
основной технической трудностью в данном круге задач.
Однако в ряде ситуаций явления типа диффузии имеют место
при отсутствии таких трудностей. В докладе будет дан
обзор соответствующих результатов.