25 ноября 1999 г.

А.В.Дмитрук (ЦЭМИ РАН, Москва)

"Необходимые и достаточные условия второго порядка для особых экстремалей".

Абстракт.
Рассматривается класс линейных по управлению и нелинейных по фазовой переменной задач оптимального управления при линейных ограничениях на управление. Фазовая переменная и управление могут иметь произвольные конечные размерности. Полностью особая экстремаль - это удовлетворяющая принципу максимума траектория, в которой управление никак не выделяется из условия максимума. Интерес к особым экстремалям возник в начале 1960-х годов в связи с тем, что они довольно часто встречаются в конкретных задачах и к ним не применимы обычные достаточные условия второго порядка. В докладе изучается, каковы дальнейшие необходимые и каковы достаточные условия второго (или некоторого "высшего") порядка для того, чтобы на данной траектории достигался "локальный" минимум. Более точная постановка вопроса требует конкретизации понятий "локальный минимум" и "условия высшего порядка". В качастве локального минимума мы рассматриваем классический слабый минимум (минимум в классе равномерно малых вариаций) и т.н. понтрягинский минимум (допускающий игольчатые вариации управления). В качестве высшего порядка берется некоторый положительный квадратичный фукнкционал от вариации траектории, играющий роль оценочного функционала, и изучаются необходимые и достаточные условия локального минимума, учитывающие все ограничения задачи с точностью до этого оценочного функционала (например, известные условия второго порядка в конечномерных задачах на экстремум соответствуют оценочному функционалу, равному квадруту модуля вариации независимой переменной). Специфика рассматриваемого класса задач состоит в том, что здесь квадратичная форма - вторая вариация функции Лагранжа - не удовлетворяет усиленному условию Лежандра, поэтому квадратичный порядок, взятый из нелинейной по управлению задачи, здесь не подходит: нужен более тонкий квадратичный порядок, включающий интеграл только от квадрата вариаций фазовых переменных, но не управления. С таким квадратичным порядком в качестве оценочного функционала удалось получить как необходимые, так и бл изкие к ни м достаточные условия для обоих типов локального минимума. При этом оказалось, что условия понтрягинского минимума отличаются от условий слабого лишь некоторым дополнительным условием поточечного характера, учитывающим третью вариацию функции Лагранжа и все допустимое множество управлений (а не касательный конус к нему, как можно было ожидать). Полученные условия недавно были довольно эффективно использованы для изучения т.н. анормальных геодезических в субримановой геометрии.

Back

Регистрация |  Устав |  Как стать членом Общества |  Правление |  Реквизиты |  Список Членов |  Научные заседания |  Ревизионная комиссия |  Информация

Home